设P为双曲线x2a2-y2=1（a>0）的上一点，∠F1PF2=2π3，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（）A.3a2B.33a2C.33D.233

Question

设P为双曲线

(x2)/(a2)-y²=1（a>0）的上一点，∠F₁PF₂=(2π)/(3)，（F₁、F₂为左、右焦点），则△F₁PF₂的面积等于（　　）

A.

√(3)a2

B.

(√(3))/(3)a2

C.

(√(3))/(3)

D.

(2√(3))/(3)

Answer 1

∵双曲线方程(x2)/(a2)-y²=1（a>0），
∴b=1，不妨设P是双曲线的右支上的一个点，
则由双曲线的定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵，∠F₁PF₂=(2π)/(3)，
∴4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos(2π)/(3)=|PF₁|²+|PF₂|²+|PF₁|•|PF₂|
=（|PF₁|-|PF₂|）²+3|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²+3|PF₁|•|PF₂|，
即3|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²=4b²=4，
则|PF₁|•|PF₂|=(4)/(3)，
∴S△F1PF2=(1)/(2)|PF₁|•|PF₂|sin(2π)/(3)=(1)/(2)×(4)/(3)×(√(3))/(2)=(√(3))/(3)，
故选：C．