设函数f（x）=x2-xlnx+2，（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在区间[a，b]⊆[12，+∞)，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，求k的取值范围．

Question

设函数f（x）=x²-xlnx+2，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在区间[a，b]⊆[(1)/(2)，+∞)，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）令g（x）=f′（x）=2x-lnx+1（x＞0），则g′（x）=2-(1)/(x)=(2x−1)/(x)，（x＞0）
令g′（x）=0，得x=(1)/(2)，
当0＜x＜(1)/(2)时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x≥(1)/(2)时，g′（x）≥0，g（x）为增函数；
所以g（x）在（0，(1)/(2)）单调递减，在[(1)/(2)，+∞）单调递增，
则g（x）的最小值为g（(1)/(2)）=ln2＞0，
所以f′（x）=g（x）≥g（(1)/(2)）＞0，
所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在区间[a，b]⊆[(1)/(2)，+∞）递增，
∵f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，
所以f（a）=k（a+2），f（b）=k（b+2），(1)/(2)≤a＜b，
则f（x）=k（x+2）在[(1)/(2)，+∞）上至少有两个不同的正根，
k=(f(x))/(x+2)，令F（x）=(f(x))/(x+2)=(x2−xlnx+2)/(x+2)(x≥(1)/(2))，
求导得，F′（x）=(x2+3x−2lnx−4)/((x+2)2)（x≥(1)/(2)），
令G（x）=x²+3x-2lnx-4（x≥(1)/(2)）
则G′（x）=2x+3-(2)/(x)=((2x−1)(x+2))/(x)≥0
所以G（x）在[(1)/(2)，+∞）递增，G（(1)/(2)）＜0，G（1）=0，
当x∈[(1)/(2)，1]时，G（x）＜0，∴F′（x）＜0，
当x∈[1，+∞]时，G（x）＞0，∴F′（x）＞0，
所以F（x）在[(1)/(2)，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴F（1）＜k≤F（