设f(x)在[a,b]上连续且f(x)>0,F(x)=∫(a,x)f(t)dt+∫(b,x)dt/f(t)(1)F‘(x)≥2(2)方程F(x)=0在(a,b)内有且仅有一个跟

Question

设f(x)在[a,b]上连续且f(x)>0,F(x)=∫(a,x)f(t)dt+∫(b,x)dt/f(t)
(1)F‘(x)≥2
(2)方程F(x)=0在(a,b)内有且仅有一个跟

Answer 1

1) 利用积分导数的性质得∫(a,x)f(t)dt关于x的导数是f(x),∫(a,x)dt/f(t)关于x的导数是1/f(x),
F'(x)=f(x)+1/f(x)>=2*sqrt{f(x)*[1/f(x)]},这里利用了性质a^2+b^2>=2ab（a>0,b>0)
2) 由于F'(x)>=2>0,因此函数在(a,b)区间单调上升,同时,当x=a时,F(a)=∫(b,a)dt/f(t)=-∫(a,b)dt/f(t)0,所以程F(x)=0在(a,b)内有且仅有一个根.