点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线x-y+2=0的最短距离为（）A.3B.332C.223D.2

Question

点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线x-y+2=0的最短距离为（　　）

A.

√(3)

B.

(3√(3))/(2)

C.

(2√(2))/(3)

D.

√(2)

Answer 1

点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x+2平行时，
点P到直线y=x+2的距离最小．
直线y=x+2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的导数y′=2x-(1)/(x)=1，
解得x=1，或 x=-(1)/(2)（舍去），
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x+2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x+2的距离等于(|1+2-1|)/(√(2))=√(2)，
故点P到直线y=x+2的最小距离为√(2)，
故选：D．