高数证明题证明：若C是平面光滑曲线,且L是任意方向的射线,则∮[C]cos（L,N）ds=0其中N是C的外法线.由cosαcosθ+sinθsinα=0可得cosα=sinθ,sinα=-cosθ吗？为什么？

Question

高数证明题
证明：若C是平面光滑曲线,且L是任意方向的射线,则 ∮[C]cos（L,N）ds=0
其中N是C的外法线.
由 cosαcosθ+sinθsinα=0
可得 cosα=sinθ,sinα=-cosθ吗？为什么？

Answer 1

由于曲线光滑,故处处存在切向量,也即曲线对应的函数处处可导
设θ与α分别为曲线切向量与法向量和X轴正向的夹角,
则有 (cosθ,sinθ).(cosα,sinα)=0,即
cosαcosθ+sinθsinα=0
可得 cosα=sinθ,sinα=-cosθ
另外 cosθds=dx, sinθds=dy
设L方向上单位向量为{a,b},则积分
∮[C]cos（L,N）ds ＝∮[C](acosα+bsinα)ds
=∮[C](asinθ-bcosθ)ds
=∮[C](a dy -b dx)
由格林公式可得
∮[C](a dy -b dx)＝∫∫[D] (da/dx-d(-b)/dy)dxdy=0