各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an2+an（n∈N*），等比数列{bn}满足b1=12，bn+1+bn=32n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能

Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），等比数列{b_n}满足b₁=(1)/(2)，b_n+1+b_n=(3)/(2n+1)（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能的乘积a_ib_j的和．

Answer 1

（I）∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），
∴n=1时，2a1＝

a

2 1

+a1，解得a₁=1．
当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n²+a_n-(

a

2 n−1

+an−1)，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
∵等比数列{b_n}满足b₁=(1)/(2)，b_n+1+b_n=(3)/(2n+1)（n∈N^*）．
设公比为q，则(1)/(2)q+(1)/(2)=(3)/(4)，
解得q=(1)/(2)．
∴bn＝(1)/(2n)．
（II）∵i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，
所有可能的乘积a_ib_j的和=a1

n

j＝1

bj+a2

n

k＝2

bk+…+an−1

n

l＝n−1

bn−1+a_nb_n
=1×((1)/(2)(1−(1)/(2n)))/(1−(1)/(2))+2×((1)/(4)(1−(1)/(2n−1)))/(1−(1)/(2))+…+(n−1)((1)/(2n−1)+(1)/(2n))+(n)/(2n)．
=1-(1)/(2n)+2((1)/(2)−(1)/(2n))+3((1)/(22)−(1)/(2n))+…+（n-1）((1)/(2n−2)−(1)/(2n))+n((1)/(2n−1)−(1)/(2n))
=(1+(2)/(2)+(3)/(22)+…+(n)/(2n−1))-(1)/(2n)(1+2+…+n)，
令S_n=1+(2)/(2)+(3)/(22)+…+(n)/(2n−1)，
(1)/(2)S_n=(1)/(2)+(2)/(22)+…+(n−1)/(2n−1)+(n)/(2n)，
∴(1)/(2)Sn=1+(1)/(2)+(1)/(22)+(1)/(23)+…+(1)/(2n−1)-(n)/(2n)=1+(1)/(2)+(1)/(22)+(1)/(23)+…+(1)/(2n−1)-(n)/(2n)=(1−(1)/(2n))/(1−(1)/(2))-(n)/(2n)=2−(n+2)/(2n)．
∴S_n=4-(n+2)/(2n−1)．
∴所有可能的乘积a_ib_j的和=4-(n+2)/(2n−1)-(n(n+1))/(2n+1)=4-(n2+5n+8)/(2n+1)．