设α1,α2,…,αn是Rn的一组基,证明：如果β属于Rn,且（β,αi）=0（i=1,2,...则β=0；（2）如果β1,β2属于Rn,使（β1,αi）=（β2,αi）（i=1,2...n）则β1=β2~拜托啦〜〜(ToT)/~

Question

设α1,α2,…,αn是Rn的一组基,证明：如果β属于Rn,且（β,αi）=0（i=1,2,...
则β=0；（2）如果β1,β2属于Rn,使（β1,αi）=（β2,αi）（i=1,2...n）则β1=β2~拜托啦〜〜(ToT)/~

Answer 1

(1)
因为α1,α2,…,αn是Rn的一组基
所以β可由α1,α2,…,αn线性表示
设 β=k1α1+k2α2+…+knαn
则 (β,β)=(β,k1α1+k2α2+…+knαn)=k1(β,α1)+k2(β,α2)+...+kn(β,αn)=0
所以 β=0
(2)
因为 (β1,αi)=(,αi) (i=1,2...n)
所以 (β1-β2,αi)=0 (i=1,2...n)
由(1)知 β1-β2=0
所以 β1=β2.