设由正整数构成的数列{an}满足a(10k-9)+a(10k-8)+...+a10k≤19对一切k∈N*恒成立记该数列若干连续项的和a(i+1)+a(i+2)+...+aj为S(i,j),其中i,j∈N*,且i

Question

设由正整数构成的数列{an}满足a(10k-9)+a(10k-8)+...+a10k≤19对一切k∈N*恒成立
记该数列若干连续项的和a(i+1)+a(i+2)+...+aj为S(i,j),其中i,j∈N*,且i

Answer 1

令n=1,2,3,有 {1×20=b12×21=b1C21+b2C223×22=b1C31+b2C32+b3C33,
即 {b1=12b1+b2=43b1+3b2+b3=12,
解得 b1=1,b2=2,b3=3．由此猜想：bn=n（n∈N*）．（4分）
下面证明：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1．
解法一：设Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
有 Sn=0Cn0+Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
又Sn=nCnn+（n-1）Cnn-1+（n-2）Cnn-2+…+0•Cn0--------------8分
两式相加2Sn=n（Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn）=n•2n--------------10分
故Sn=n•2n-1,n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn--------------12分
解法二：构造函数f（x）=（1+x）n,（n∈N*）,由二项式定理知：
f（x）=（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn--------------8分
f′（x）=n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1--------------10分
令x=1,即得n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn--------------12分
解法三：（1）n=1,成立．-----------------5分
（2）假设n=k时等式成立,即Ck1+2Ck2+3Ck3+…+kCkk=k•2k-1
当n=k+1时,
Ck+11+2Ck+12+…+kCk+1k+（k+1）Ck+1k+1
=（Ck0+Ck1）+2（CK1+CK2）+…+k（Ckk-1+Ckk）+（k+1）----------8分
=（Ck0+2Ck1+3Ck2+…+kCkk-1）+（Ck1+2Ck2+…+3Ck3+kCkk）+k+1
=（Ck0+Ck1+Ck2+…+Ckk-1）+[Ck1+2Ck2+…+（k-1）Ckk-1]+k•2k-1+k+1
=（2k-1）+[Ck1+2Ck2+…+（k-1）Ckk-1+kCkk]+k•2k-1+1=2k-1+k•2k-1+k•2k-1+1---（10分）
=（k+1）•2k
也就是说,当n=k+1时,等式也成立．
由（1）（2）可知,存在bn=n,
使得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1对一切n∈N*