（2014•武侯区一模）已知双曲线y=4x与直线y=14x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则AE2+BF2EF2的值是．

Question

（2014•武侯区一模）已知双曲线y=(4)/(x)与直线y=(1)/(4)x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则(AE2+BF2)/(EF2)的值是______．

Answer 1

解1：过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设直线AC与x轴交于点K，如图，

联立

y＝(4)/(x)

y＝(1)/(4)x

，
解得：

x1＝−4

y1＝−1

，

x2＝4

y2＝1

．
∵点A在点B的左侧，
∴A（-4，-1），B（4，1）．
∴AG=4，OG=1，OH=4，BH=1．
设FH=a，则有OF=OH+FH=4+a，BF²=FH²+BH²=a²+1．
∵AC⊥CF，OE⊥OK，
∴∠CFK=90°-∠CKF=∠OEK．
∵AG⊥y轴，BH⊥x轴，
∴∠AGE=∠BHF=90°．
∴△AEG∽△BFH．
∴(AE)/(BF)=(EG)/(FH)=(AG)/(BH)=4．
∴AE²=16BF²=16（a²+1），EG=4FH=4a．
∴OE=

.

EG−OG

.

=|4a-1|．
∴EF²=（4a-1）²+（4+a）²=17（a²+1）．
∴(AE2+BF2)/(EF2)=(16(a2+1)+(a2+1))/(17(a2+1))=1．
故答案为：1．
解2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，如图．

则有∠GAC=∠FCA=90°，∠AGO=∠BFO．
∵双曲线y=(4)/(x)与直线y=(1)/(4)x都关于点O成中心对称，
∴它们的交点也关于点O成中心对称，即OA=OB．
在△AOG和△BOF中，

∠AGO＝∠BFO

∠AOG＝∠BOF

OA＝OB

，
∴△AOG≌△BOF，
∴AG=BF，OG=OF．
∵OE⊥GF，
∴EG=EF．
∵∠GAC=90°，
∴AG²+AE²=GE²，
∴BF²+AE²=EF²，
∴(AE2+BF2)/(EF2)=1．
故答案为：1．