利用积分求体积求下列曲线所围图行绕指定轴旋转所得旋转体的体积y^2=x-1,y=2,x=0,y=0分别绕x轴及绕y轴所得的体积206/15π

Question

利用积分求体积
求下列曲线所围图行绕指定轴旋转所得旋转体的体积
y^2=x-1,y=2,x=0,y=0分别绕x轴及绕y轴所得的体积
206/15π

Answer 1

y=2与y轴交与点A(0,2) 原点为O(0,0) 抛物线交x轴于B(1,0) 交y=2于D(5,2) ,过D作X轴垂线交x轴于C(5,0)
平面AOBD绕X轴旋转的体积为V1
矩形AOCD绕x轴旋转体积为V2
平面BCD绕x轴旋转体积为V3,
有V1=V2-V3
V2=π*AO^2*OC=π*2^2*5=20π
V3=∫π(x-1)dx从1到5 =π(1/2x^2-x)从1到5=π(1/2 * 5^2-5)-π(1/2 -1)=8π
V1=20π-8π=12π
绕y轴的情况
V=∫π(y^2+1)^2dy从0到2=π∫(y^4+2y^2+1)dy从0到2
= π(1/5 y^5+2/3 y^3 +y)从0到2
=π(1/5*2^5+2/3*2^3+2)-0=206/15π