设平面图形由y=x2和y=2x所围成,求：1、此平面图形的面积S2、此图形绕x轴旋转一周所成的立体的体积Vx3、此图形绕y轴旋转一周所成的立体的体积Vy

Question

设平面图形由y=x2和y=2x所围成,
求：1、此平面图形的面积S
2、此图形绕x轴旋转一周所成的立体的体积Vx
3、此图形绕y轴旋转一周所成的立体的体积Vy

Answer 1

1、此平面图形的面积S
y=x^2与y=2x的交点为(0,0),(2,4).
S=∫[0,2](2x-x^2)dx=4/3.
2、此图形绕x轴旋转一周所成的立体的体积Vx
Vx=∫[0,2]π(2x)^2dx-∫[0,2]π(x^2)^2dx
=∫[0,2]π(4x^2-x^4)dx
=64π/15.
3、此图形绕y轴旋转一周所成的立体的体积Vy
Vy=∫[0,4]π(√y)^2dy-∫[0,4]π(y/2)^2dy
=∫[0,4]π(y-y^2/4)dy
=8π/3.