解下列方程：（1）x2+x+1x2+1+2x2+x+2x2+x+1＝196；（2）1x2+11x−8+1x2+2x−8+1x2−13x−8＝0；（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；（4）2(x2+1x2)−3(x+1x)＝1．

Question

解下列方程：
（1）(x2+x+1)/(x2+1)+(2x2+x+2)/(x2+x+1)＝(19)/(6)；
（2）(1)/(x2+11x−8)+(1)/(x2+2x−8)+(1)/(x2−13x−8)＝0；
（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；
（4）2(x2+(1)/(x2))−3(x+(1)/(x))＝1．

Answer 1

（1）原方程可变形为(x2+x+1)/(x2+1)+1+(x2+1)/(x2+x+1)=(19)/(6)，
(x2+x+1)/(x2+1)+(x2+1)/(x2+x+1)=(13)/(6)．
令y=(x2+x+1)/(x2+1)，则原方程可变为y+(1)/(y)=(13)/(6)，
解得y₁=(3)/(2)，y₂=(2)/(3)．
当y₁=(3)/(2)时，(x2+x+1)/(x2+1)=(3)/(2)，解得x=1；
当y₂=(2)/(3)时，(x2+x+1)/(x2+1)=(2)/(3)，解得x=(−3±√(5))/(2)．
经检验：x=1或(−3±√(5))/(2)都是原方程的解．
故原方程的解为x₁=1，x₂=(−3+√(5))/(2)，x₃=(3−√(5))/(2)．

（2）设x²+2x-8=y，则原方程可化为：(1)/(y+9x)+(1)/(y)+(1)/(y−15x)=0，
方程的两边同乘y（y+9x）（y-15x），整理得y²-4xy-45x²=0，
解得y=9x或y=-5x．
当y=9x时，x²+2x-8=9x，x²-7x-8=0，解得x₁=8，x₂=-1；
当y=-5x时，x²+2x-8=-5x，x²+7x-8=0，解得x₃=-8，x₄=1．
经检验：x₁=8，x₂=-1，x₃=-8，x₄=1都是原方程的解．
故原方程的解为x₁=8，x₂=-1，x₃=-8，x₄=1．

（3）[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=120，
（x²+5x+4）（x²+5x+6）=120，
设x²+5x+4=y，则y（y+2）=120，
∴y²+2y-120=0，
解得y=10或y=-12．
当y=10时，x²+5x+4=10，x²+5x-6=0，解得x₁=-6，x₂=1；
当y=-12时，x²+5x+4=-12，x²+5x+16=0，△=25-64=-39＜0，故此方程无实根．
故原方程的解为x₁=-6，x₂=1．

（4）将原方程变形，得2（x+(1)/(x)）²-4-3（x+(1)/(x)）=1，
整理，得2（x+(1)/(x)）²-3（x+(1)/(x)）-5=0．
设x+(1)/(x)=y，则原方程可化为：2y²-3y-5=0，
解得：y₁=(5)/(2)，y₂=-1．
当y₁=(5)/(2)时，x+(1)/(x)=(5)/(2)，解得：x₁=(1)/(2)，x₂=2；
当y₂=-1时，x+(1)/(x)=-1，即x²+x+1=0，△=1-4=-3＜0，故此方程无实根．
经检验：x₁=(1)/(2)，x₂=2都是原方程的解．
故原方程的解为x₁=(1)/(2)，x₂=2．