如图，∠BAC=45°，BD：DC：BC=3：4：5，AD=4，∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACD=180°，求四边形ABCD的面积．

Question

如图，∠BAC=45°，BD：DC：BC=3：4：5，AD=4，∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACD=180°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

∵BD：DC：BC=3：4：5，
∴设BD=3λ，则DC=4λ，BC=5λ；
如图，将△ABD、△ACD分别沿AB、AC折叠，得到△ABE和△ACF；
则∠ABE=∠ABD，∠ACD=∠ACF；
AE=AD=4，AF=AD=4；∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC；
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°
∵∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ABC+∠ABE=180°，∠ACB+∠ACF=180°，
∴E、B、C、F四点共线；
∵∠EAF=90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∴△AEF的面积=(1)/(2)AE•AF=(1)/(2)×4×4=8；
∵（3λ）²+（4λ）²=（5λ）²，
∴△BDC为直角三角形；
EF=3λ+4λ+5λ=12λ；
由勾股定理得：（12λ）²=4²+4²，
解得：λ=(√(2))/(3)，BD=√(2)，DC=(4√(2))/(3)，
∴△BDC的面积=(1)/(2)×√(2)×(4√(2))/(3)=(4)/(3)；
设△ABD、△ADC、△BDC的面积分别为x，y，z；
∵x+y+（x+y）-z=8，而z=(4)/(3)，
∴x+y=(14)/(3)，
即四边形ABCD的面积为(14)/(3)．