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(2012•荣昌县模拟)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2.点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停
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(2012•荣昌县模拟)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2.点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA.
(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;
(2)求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少?
(3)在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长.

(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;
(2)求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少?
(3)在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长.

▼优质解答
答案和解析
(1)设出P点坐标,再求出CP的中点坐标,根据相似的性质即可求出D点坐标;
(2)根据D点的坐标及三角形的面积公式直接求解即可;
(3)先判断出可能为直角的角,再根据勾股定理求解;
(4)根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可.
【解析】
(1)∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,
∴OP=t,而OC=2,
∴P(t,0),
设CP的中点为F,
则F点的坐标为(
,1),
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,其坐标为(t+1,
);
(2)∵D点坐标为(t+1,
),OA=4,
∴S△DPA=
AP×
=
(4-t)×
=
(4t-t2)=-
(t-2)2+1,
∴当t=2时,S最大=1;
(3)能够成直角三角形.
①当∠PDA=90°时,PC∥AD,

由勾股定理得,PD2+AD2=AP2,
即(
)2+1+(4-t-1)2+(
)2=(4-t)2,
解得,t=2或t=-6(舍去).
∴t=2秒.
②当∠PAD=90°时,此时点D在AB上,

可知,△COP∽△PAD,
∴
=
,
∴
=
,
PA=1,
即t+1=4,t=3秒.
综上,可知当t为2秒或3秒时,△DPA能成为直角三角形.
(4)∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=2
,
∴点D运动路线的长为2
.
(2)根据D点的坐标及三角形的面积公式直接求解即可;
(3)先判断出可能为直角的角,再根据勾股定理求解;
(4)根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可.
【解析】
(1)∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,
∴OP=t,而OC=2,
∴P(t,0),
设CP的中点为F,

则F点的坐标为(

∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,其坐标为(t+1,

(2)∵D点坐标为(t+1,

∴S△DPA=






∴当t=2时,S最大=1;
(3)能够成直角三角形.
①当∠PDA=90°时,PC∥AD,

由勾股定理得,PD2+AD2=AP2,
即(


解得,t=2或t=-6(舍去).
∴t=2秒.
②当∠PAD=90°时,此时点D在AB上,

可知,△COP∽△PAD,
∴


∴


PA=1,
即t+1=4,t=3秒.
综上,可知当t为2秒或3秒时,△DPA能成为直角三角形.
(4)∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=2

∴点D运动路线的长为2

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