如图所示，在x轴上方平面内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．坐标原点O处有一离子源，可以在平行于纸面内向x轴上方（包括x轴）沿各个方向发射速率在0到υm

Question

如图所示，在x轴上方平面内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．坐标原点O处有一离子源，可以在平行于纸面内向x轴上方（包括x轴）沿各个方向发射速率在0到υ _m 之间、质量为m、电量为q的负离子．不计离子的重力和离子之间的相互作用力，试分析：
（1）若在t=0时刻发射的各种速率的离子仅沿+x方向，写出经过t= (πn)/(2qB) 时这些离子所在位置的坐标y与x的关系式和范围．
（2）若在x轴的上方距离x轴d= (8mmv)/(5qB) 处放一足够长的屏，屏与x轴平行，离子以最大速度υ _m 向x轴上方各个方向发射，求这些离子打在屏上的范围．
（3）若从t=0时刻开始向x轴上方各个方向发射各种速率的离子，求从t=0到t= (πn)/(2qB) 时间内所有离子可能到达过的位置所组成区域的最大面积．

Answer 1

（1）离子进入磁场中做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得：
　　qvB=m (v2)/(R)
解得最大半径R _m = (mv)/(qB)
离子在磁场中运动的周期为T，则
T= (2πR)/(v) =(2πm)/(qB)
因为 t=(1)/(4) T ，所以t时刻这些离子刚好转过90°角，设某一离子在此时刻的坐标为（x，y），则有
y=x，且0 ≤x≤(mv)/(qB)
（2）离子以最大速度υ _m 向x轴正方向发射时，将到达屏的最右端．  
L ₁ =

R

2m

-(d- R m ) 2

= (4mv)/(5qB)
离子与屏刚好相切时，将到达屏的最左端．
L 2 =

R

2m

-(d- R m ) 2

= (4mv)/(5qB)
离子打在屏上的范围为- (4mv)/(5qB) ≤x≤ (4mv)/(5qB)
（3）将第（1）问中图中的OA段从沿-x轴方向顺时针方向旋转135°，在y轴上找一点C，以R _m 为半径作圆弧，相交于O，则两圆弧及x轴所围成的面积即为所求的解，画出示意图如图．
由几何关系可求得此面积为
S= (3)/(8) π•2

R

2m

+ (1)/(4) π

R

2m

- (1)/(2) R 2 = (π-(1)/(2) )

R

2m

则：S= (π-(1)/(2) )((mv)/(qB) ) 2
答：
（1）这些离子所在位置的坐标y与x的关系式y=x，且0 ≤x≤(mv)/(qB) ．
（2）这些离子打在屏上的范围为- (4mv)/(5qB) ≤x≤ (4mv)/(5qB) ．
（3）所有离子可能到达过的位置所组成区域的最大面积S= (π-(1)/(2) )((mv)/(qB) ) 2 ．