已知直线l：x-y+3=0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点．（Ⅰ）试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？（Ⅱ）依你的判断，认为

Question

已知直线l：x-y+3=0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点．
（Ⅰ）试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？
（Ⅱ）依你的判断，认为是无限个时求出所以这样的△ABC的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC的方程．

Answer 1

（Ⅰ）如图所示，
设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A′（1，-2），点B关于直线l的对称点为B′（-3，m+3），根据光学性质，点C在直线A′B上，又在直线AB′上．
求得直线A′B的方程为y＝(2)/(m−1)(x−m)，
由

y＝(2)/(m−1)(x−m)

y＝x+3          

解得xc＝(3−5m)/(m−3)
直线AB′的方程为y−2＝(−m−1)/(4)(x−1)
由

y−2＝(−m−1)/(4)(x−1)

y＝x+3          

解得xc＝(m−3)/(m+5)，
则(3−5m)/(m−3)＝(m−3)/(m+5)，得3m²+8m-3=0解得m＝(1)/(3)或m=-3．
而当m=-3时，点B在直线l上，不能构成三角形，故这样的三角形只有一个．
（Ⅱ）当m＝(1)/(3)时，B((1)/(3)，0)， C(−(1)/(2)，(5)/(2))，
∴线段BC的方程为3x+y−1＝0(−(1)/(2)≤x≤(1)/(3))．