已知直线：x-y+3=0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从B点反射到上一点C，最后又从C点反射回A点。（Ⅰ）试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？（Ⅱ）依你的判断，

Question

已知直线 ：x-y+3=0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从B点反射到 上一点C，最后又从C点反射回A点。
（Ⅰ）试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？
（Ⅱ）依你的判断，认为是无限个时求出所有这样的△ABC的面积中的最小值；认为是有限个时，求出这样的线段BC的方程。

Answer 1

已知直线 ：x-y+3=0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从B点反射到 上一点C，最后又从C点反射回A点。
（Ⅰ）试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？
（Ⅱ）依你的判断，认为是无限个时求出所有这样的△ABC的面积中的最小值；认为是有限个时，求出这样的线段BC的方程。

（Ⅰ）如图所示，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A′（1，-2）， 点B关于直线 的对称点为B′（-3，m+3）， 根据光学性质，点C在直线A′B上，又在直线AB′上。 求得直线A′B的方程为 ， 由 ，解得： ， ∴直线AB′的方程为 ， 由 ，解得： ， 则 ， 化简，得 ，解得： 或m=-3， 而当m=-3时，点B在直线 上，不能构成三角形，故这样的三角形只有一个。
（Ⅱ）当 时， ， ∴线段BC的方程为 。