已知定义在R上的奇函数f(x)=ax³+bx²+cx+d（a≠0）,f(1)≠1；且当x∈1,2时,函数g(x)=f(x)/x的值域为-2,1.求f(x)的解析式.

Question

已知定义在R上的奇函数f(x)=ax³+bx²+cx+d（a≠0）,f(1)≠1；且当x∈【1,2】时,函数g(x)=f(x)/x的值域为【-2,1】.求f(x)的解析式.

Answer 1

函数是奇函数,f(-x)=-f(x)
a(-x)³+b(-x)²+c(-x)+d=-(ax³+bx²+cx+d)
整理,得
bx^2+d=0
对于定义域上任意x,等式恒成立,只有b=0 d=0
f(x)=ax³+cx
f(1)≠1 a+c≠1
g(x)=f(x)/x=(ax³+cx)/x=ax²+c
x∈[1,2],函数单调递增
x=1时,g(x)=a+c=-2 (1)
x=2时,g(x)=4a+c=1 (2)
(2)-(1)
3a=3 a=1
代入(1) c=-2-a=-2-1=-3
函数f(x)的解析式为f(x)=x³-3x