已知三次函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0））处的切线恰�已知三次函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0

Question

已知三次函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0））处的切线恰�
已知三次函数f（x）=x³+bx²+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0））处的切线恰好是直线y=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=9x+m-1，若函数y=f（x）-g（x）在区间[-2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2bx+c，由已知条件得：

f(3)＝27+9b+3c+d＝0

f′(0)＝c＝0

f(0)＝d＝0

，解得b=-3，c=d=0；
∴f（x）=x³-3x²
（2）由已知条件得：f（x）-g（x）=0在[-2，1]上有两个不同的解；
即x³-3x²-9x-m+1=0在区间[-2，1]有两个不同的解；
即m=x³-3x²-9x+1在[-2，1]上有两个不同解．
令h（x）=x³-3x²-9x+1，h′（x）=3x²-6x-9，x∈[-2，1]；
解3x²-6x-9＞0得：-2≤x＜-1；解3x²-6x-9＜0得：-1＜x≤1；
∴h（x）_max=h（-1）=6，又f（-2）=-1，f（1）=-10，∴h（x）_min=-10；
m=h（x）在区间[-2，1]上有两个不同的解，∴-1≤m＜6．
∴实数m的取值范围是[-1，6）．