定义在[0，1]上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（x5）=12f（x），且当0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），则f（12010）等于（）A．12B．116C．132D．164

Question

定义在[0，1]上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（(x)/(5)）=(1)/(2)f（x），且当0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），则f（(1)/(2010)）等于（　　）

A．(1)/(2)
B．(1)/(16)
C．(1)/(32)
D．(1)/(64)

Answer 1

∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（(x)/(5)）=(1)/(2)f（x），
∴当x=1时，f（(1)/(5)）=(1)/(2)f（1）=(1)/(2)；
令x=(1)/(5)，由f（(x)/(5)）=(1)/(2)f（x）得：
f（(1)/(25)）=(1)/(2)f（(1)/(5)）=(1)/(4)；
同理可求：f（(1)/(125)）=(1)/(2)f（(1)/(25)）=(1)/(8)；
f（(1)/(625)）=）=(1)/(2)f（(1)/(125)）=(1)/(16)；
f（(1)/(3125)）=(1)/(2)f（(1)/(625)）=(1)/(32) ①
再令x=(1)/(2)，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（(1)/(2)）=(1)/(2)，
∴f（(1)/(2)）+f（1-(1)/(2)）=1，解得f（(1)/(2)）=(1)/(2)，
令x=(1)/(2)，同理反复利用f（(x)/(5)）=(1)/(2)f（x），
可得f（(1)/(10)）=）=(1)/(2)f（(1)/(2)）=(1)/(4)；
f（(1)/(50)）=(1)/(2)f（(1)/(10)）=(1)/(8)；
…
f（(1)/(1250)）=(1)/(2)f（(1)/(250)）=(1)/(32) ②
由①②可得：，有f（(1)/(1250)）=f（(1)/(3125)）=(1)/(32)，
∵0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），而0＜(1)/(3125)＜(1)/(2010)＜(1)/(1250)＜1
所以有f（(1)/(2010)）≥f（(1)/(3125)）=(1)/(32)，
       f（(1)/(2010)）≤f（(1)/(1250)）=(1)/(32)；
故f（(1)/(2010)）=(1)/(32)．
故选C．