在△ABC中，BC=6，AC=42，∠C=45°，在BC上有一动点P．过P作PD∥BA与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）是否存在点P，

Question

在△ABC中，BC=6，AC=4√(2)，∠C=45°，在BC上有一动点P．过P作PD∥BA与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．

（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点P，使△APD的面积最大？若存在，求出BP的长，并求出△APD面积的最大值．

Answer 1

（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=(AE)/(AC)，即AE=ACsin45°=4

2

×(2)/(2)=4，
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
则 (h)/(4)＝(6−x)/(6)⇒h＝(2)/(3)(6−x)(0＜x＜6)；
这样S₁=2x，S₃=(1)/(2)(6−x)•(2)/(3)(6−x)＝(1)/(3)(6−x)2，
S₂=12-2x-(1)/(3)(6−x)2=−(1)/(3)x2+2x；
即y=12-2x-(1)/(3)(6−x)2=−(1)/(3)x2+2x；
（2）S₂=−(1)/(3)x2+2x=−(1)/(3)(x2−6x+9)+3=−(1)/(3)(x−3)2+3，
所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．