已知函数f(x)=x^(-k^2+k+2)(k属于z),且f(2)＜f(3),（1）求k的值（2）试判断是否存在正数p,使函数g(x)=1-p*f(x)+(2p-1)x在区间[-1,2]上的值域[-4,17/8],若存在,求出这个p的值,若不存在,说明理由

Question

已知函数f(x)=x^(-k^2+k+2)(k属于z),且f(2)＜f(3),（1）求k的值（2）试判断是否存在正数p,使函数g(x)=1-p*f(x)+(2p-1)x在区间[-1,2]上的值域[-4,17/8],若存在,求出这个p的值,若不存在,说明理由

Answer 1

(1)
已知函数f(x)＝x^(－k²＋k＋2)(k∈Z)
∵f(2)＜f(3)
∴－k²＋k＋2＞0
即k²－k－2＜0
∵k∈Z
∴k＝0或1
(2)存在p＝2,使得结论成立,证明如下：
由(1)知：函数解析式为f(x)＝x²
g(x)＝1－p•x²＋(2p－1)x＝－p[x－(2p－1)/2p]²＋[(4p²＋1)/4p]
当(2p－1)/2p∈[－1,2],即p∈[1/4,＋∞)时
(4p²＋1)/4p＝17/8,p＝2,g(－1)＝－4,g(2)＝－1
当(2p－1)/2p∈(2,＋∞)时,解得p＜－1/2
∵p＞0
∴这样的p不存在
当(2p－1)/2p∈(－∞,－1),即p∈(0,1/4)时
g(－1)＝17/8,g(2)＝－4,解之得,这样的p不存在
综上得：p＝2
即当p＝2时,结论成立