在初等数论中,已知a+b=60,(a,b)+[a,b]=84,求a,b;

Question

在初等数论中,已知a+b=60,(a,b)+[a,b]=84,求a,b;

Answer 1

设a=kp,b=kq,(p,q)=1,k>0,p0,则k=1,2,3,4,6,12
而|pq|=84/k-1不是质数,k=3,4,12
当k=3时,p+q=20,|pq|=27=3^3,由于(p,q)=1,故|p|和|q|中一个为27,另一个为1,显然无解
当k=4时,p+q=15,|pq|=20=5*2^2,同样无解
当k=12时,p+q=5,|pq|=6,有解(-1,6)和(2,3)
因此a=-12,b=72或者a=24,b=36
故满足条件的数组为(-12,72)、(72,-12)、(24,36)、(36,24)