如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AP∥平面BED；（Ⅱ）证明：平面APC⊥平面BED；（Ⅲ）若BC=PC=2，

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：AP∥平面BED；
（Ⅱ）证明：平面APC⊥平面BED；
（Ⅲ）若BC=PC=2，∠ABC=60°，求异面直线AP与BC所成角的余弦值．

Answer 1

（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，ABCD是平行四边形，故O为BD的中点，连结OE，
∵点E是PC的中点，∴AP∥OE，
OE⊂平面BED，AP⊄平面BED，
∴AP∥平面BED，
（Ⅱ）∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PCB=90°，
故PC⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD，
而底面ABCD是菱形，故AC⊥BD，
又AC∩PC=C，∴BD⊥平面APC，
∵BD⊂平面BED，
∴平面APC⊥平面BED．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知BC∥AD，故∠PAD为异面直线AP与BC所成的角，
由已知BC=PC=2，∠ABC=60°，底面ABCD是菱形，
故AB=BC=AC=PC=2，
∴在Rt△DPC中，PC=DC=2，故DP=2√(2)，
取BC中点H，则AH⊥BC，AH⊥平面PBC，
在Rt△AHP中，PH=√(5)，AH=√(3)，故AP=2√(2)，
∴AP=2√(2)，在△APD中，cos∠PDE=((1)/(2)AD)/(AP)=(√(2))/(4)．
∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为(√(2))/(4)．