求证：四边形ABCD有外接圆的充要条件是S=√((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d))其中a,b,c,d为四边形的四条边长,p为其中a,b,c,d为四边形的四条边长,p为半周长,S为面积.

Question

求证：四边形ABCD有外接圆的充要条件是S=√((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d))其中a,b,c,d为四边形的四条边长,p为
其中a,b,c,d为四边形的四条边长,p为半周长,S为面积.

Answer 1

在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,设p=1/2（a+b+c+d）,∠A+∠C=2θ,四边形面积为S
∵S△ABD=1/2ad×sinA
S△BCD=1/2bc×sinC
∴S=1/2adsinA+1/2bcsinC
4S²=（ad×sinA+bc×sinC）²
而BD²=a²+d²-2ad×cosA
=b²+c²-2bc×cosC
∴ad×cosA-bc×cosC=1/2（b²+c²-a²-d²）
故4S²+1/4（b²+c²-a²-d²）²
=（ad×sinA+bc×sinC）²+（ad×cosA-bc×cosC）²
=a²d²+b²c²-2abcd×cos2θ (2θ=A+C)
=a²d²+b²c²-2abcd（2cos²θ-1）
=（ad+bc）²-4abcd×cos²θ
于是 16S²=4（ad+bc）²-（b²+c²-a²-d²）²-4abcd×cos²θ
=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd×cos²θ
∴S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd×cos²θ]
四边形ABCD有外接圆的充要条件是对角互补
故四边形ABCD有外接圆的充要条件是S=√((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d))