已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于原点O和点A(4,0),点P是第一象限内的抛物线上到两坐标轴的距离相等的点.且OP=5√2.设C、D是线段OP上异于O、P的两个动点（点D在点C的右上方）CD=2√2,分别过C、D作y

Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于原点O和点A(4,0),点P是第一象限内的抛物线上到两坐标轴的距离相等的点.且OP=5√2.
设C、D是线段OP上异于O、P的两个动点（点D在点C的右上方）CD=2√2,分别过C、D作y轴的平行线,交抛物线于点E、F,若四边形CDFE为平行四边形,求C点坐标

Answer 1

1.函数解析式为：y=x^2-4x;
因为：P是第一象限内的抛物线上到两坐标轴的距离相等的点.且OP=5√2,说明P点坐标为（5,5）,设函数解析式为y=a*x^2+b*x+c;代入原点O和点A(4,0),P点（5,5）,得出方程组：
(1) c=0;
(2) 16a+4b+c=0;
(3) 25a+5b+c=0;
解得：a=1;b=-4;c=0.
2.C点坐标(1.5,1.5)
因为：
（1）C、D是线段OP上异于O、P的两个动点（点D在点C的右上方）CD=2√2,说明C、D点在y=x直线上,且D点的X、Y坐标分别比X的大2,设C点坐标为（a,a),则D点坐标为（a+2,a+2)；
（2）分别过C、D点作y轴的平行线,交抛物线于点E、F,说明E、F点的X坐标分别为a、a+2；
（3）若四边形CDFE为平行四边形,说明F点的Y坐标比E点的Y坐标大2；
代入解析式：
(a+2)^2-4*(a+2)-a^2+4a=2
解得：a=1.5