如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=3，AD=2，BC=3，下列结论：①AC=2AB；②∠CAE=30°；③△ABE≌△AOD；④BO⊥CD；其中正确的是（将正确序号都填上）．

Question

√(3)，AD=2，BC=3，下列结论：①AC=2AB；②∠CAE=30°；③△ABE≌△AOD；④BO⊥CD；其中正确的是______（将正确序号都填上）．√(3)

3

3

Answer 1

在直角三角形ABC中，∵AB=√(3)，BC=3，
∴tan∠ACB=(√(3))/(3)．
∴∠ACB=30°．
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2√(3)．故①是正确的；
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE=AD=2．
∴BE=1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE=(√(3))/(3)，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．故②是正确的；
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°，
∵∠DCE=60°
∴BO⊥CD．④是正确的；
∵∠ACB=30°，AD∥BC，
∴∠DAC=30°，
AO=CO=(1)/(2)AC=AB，
在△ABE和△AOD中

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

，
∴△ABE≌△AOD（SAS），故③正确．
综上所述：①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④． √(3)

3

33，BC=3，
∴tan∠ACB=(√(3))/(3)．
∴∠ACB=30°．
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2√(3)．故①是正确的；
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE=AD=2．
∴BE=1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE=(√(3))/(3)，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．故②是正确的；
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°，
∵∠DCE=60°
∴BO⊥CD．④是正确的；
∵∠ACB=30°，AD∥BC，
∴∠DAC=30°，
AO=CO=(1)/(2)AC=AB，
在△ABE和△AOD中

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

，
∴△ABE≌△AOD（SAS），故③正确．
综上所述：①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④． (√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333．
∴∠ACB=30°．
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2√(3)．故①是正确的；
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE=AD=2．
∴BE=1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE=(√(3))/(3)，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．故②是正确的；
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°，
∵∠DCE=60°
∴BO⊥CD．④是正确的；
∵∠ACB=30°，AD∥BC，
∴∠DAC=30°，
AO=CO=(1)/(2)AC=AB，
在△ABE和△AOD中

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

，
∴△ABE≌△AOD（SAS），故③正确．
综上所述：①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④． √(3)

3

33．故①是正确的；
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE=AD=2．
∴BE=1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE=(√(3))/(3)，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．故②是正确的；
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°，
∵∠DCE=60°
∴BO⊥CD．④是正确的；
∵∠ACB=30°，AD∥BC，
∴∠DAC=30°，
AO=CO=(1)/(2)AC=AB，
在△ABE和△AOD中

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

，
∴△ABE≌△AOD（SAS），故③正确．
综上所述：①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④． (√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．故②是正确的；
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°，
∵∠DCE=60°
∴BO⊥CD．④是正确的；
∵∠ACB=30°，AD∥BC，
∴∠DAC=30°，
AO=CO=(1)/(2)AC=AB，
在△ABE和△AOD中

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

，
∴△ABE≌△AOD（SAS），故③正确．
综上所述：①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④． (1)/(2)111222AC=AB，
在△ABE和△AOD中

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

，
∴△ABE≌△AOD（SAS），故③正确．
综上所述：①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④．

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

AE＝AD

∠DAO＝∠EAB

AO＝AB

AE＝ADAE＝ADAE＝AD∠DAO＝∠EAB∠DAO＝∠EAB∠DAO＝∠EABAO＝ABAO＝ABAO＝AB，
∴△ABE≌△AOD（SAS），故③正确．
综上所述：①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④．