已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+a+1．（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）若对于a∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1．
（1）若a=2，解关于x 的不等式f（x）≥0；
（2）若对于a∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）若a=2，不等式f（x）≥0等价为2x²-5x+3≥0，
解得x≥(3)/(2)或x≤1，
∴不等式f（x）≥0的解集为{x|x≥(3)/(2)，或x≤1}．
（2）∵ax²-（2a+1）x+a+1=a（x-1）²-（x-1），
令g（a）=a（x-1）²-（x-1），
则g（a）是关于a的一次函数，且一次项的系数为（x-1）²≥0，
∴当x-1=0时，f（x）=0不合题意；
当x≠1时，g（a）为[-2，2]上的增函数，
∵f（x）＜0恒成立，
∴只要使g（a）的最大值g（2）＜0即可，
即g（2）=2（x-1）²-（x-1）＜0，
解得1＜x＜(3)/(2)，
综上，x的取值范围是(1，(3)/(2))．