设函数f（x）在区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，f（12）=1．试证：（1）存在η∈（12，1），使f（η）=η；（2）对于任意实数λ，必存在ξ∈（0，η），使得f′（ξ）-λ

Question

设函数f（x）在区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，f（(1)/(2)）=1．
试证：
（1）存在η∈（(1)/(2)，1），使f（η）=η；
（2）对于任意实数λ，必存在ξ∈（0，η），使得f′（ξ）-λ[f（ξ）-ξ]=1．

Answer 1

（1）令g（x）=f（x）-x，则g（x）在[(1)/(2)，1]连续，在((1)/(2)，1)可导，且g（1）=f（1）-1=0-1=-1＜0，g((1)/(2))=f((1)/(2))-(1)/(2)=1-(1)/(2)=(1)/(2)＞0
∴由零点定理：∃η∈((1)/(2)，1)，使得g（η）=0，即f（η）=η
命题得证
（2）设h（x）=e^-λx[f（x）-x]，x∈[0，η]，则h（x）在[0，η]连续，在（0，η）可导，且h（0）=h（η）=0
∴由洛尔定理可知，∃ξ∈（0，η），使得h'（ξ）=0
又h'（x）=e^-λx[f'（x）-1-λ（f（x）-x）]
∴由h'（ξ）=0，得：
e^-λξ[f'（ξ）-1-λ（f（ξ）-ξ）]=0
∴f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1
命题得证