一道中值定理的题设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明：1.存在η∈(1/2,1),使f(η)=η.2.对任意实数λ,必存在ξ∈(0,λ),使得f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.问下第二小题就行了,

Question

一道中值定理的题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明：
1.存在η∈(1/2,1),使f(η)=η.
2.对任意实数λ,必存在ξ ∈(0,λ),使得f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
问下第二小题就行了,

Answer 1

g(x)=[f(x)-x]e^(-λx),
由1,知道存在η∈(1/2,1),使得g(η)=0 ,而g(0)=0,
对g(x)在[0,η]上应用罗尔定理,有ξ∈[0,η] ,从而ξ∈(0,λ),使得 g′(ξ)=0
g′(x)=[f′(x)-1]e^(-λx)-λ[f(x)-x]e^(-x),
所以由g′(ξ)=0,有f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1