设函数f(x)在区间0,1上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证1,存在0＜η＜1,使得f(η)=η;2,对任意实数λ,比存在ξ属于（0,η）,使得f'(ξ)－λ〔f(ξ)－ξ〕＝1

Question

设函数f(x)在区间【0,1】上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证1,存在0＜η＜1,使得f(η)=η;2,对任意实数λ,比存在ξ属于（0,η）,使得f'(ξ)－λ〔f(ξ)－ξ〕＝1

Answer 1

1.观察所需证明的式子中没有导数出现,故用介值定理或零点定理
构造辅助函数F(x)=f(x)-x,x∈[0,1],则
F(x)在[0,1]上连续
F(0)=f(0)-0=0
F(1)=f(1)-1=-10
又∵F(x)在[0,1]上连续
由零点定理,至少存在一点η∈(0,1),使
F(η)=0 即f(η)=η
2.将所需证明的式子变形：
[f'(ξ)－1]-λ〔f(ξ)－ξ〕＝0
[f(ξ)－ξ]′-λ〔f(ξ)－ξ〕=0
F′(ξ)=λF(ξ)
故构造辅助函数G(x)=F(x)·e^(-λx)=[f(x)-x]·e^(-λx),则
G(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导
∴G(0)=0,G(η)=0 (由(1)可知)
由罗尔定理,得
至少存在一点ξ,使得
G′(ξ)=0 即{[f'(ξ)－1]-λ〔f(ξ)－ξ〕}·e^(-λξ)=0
即[f'(ξ)－1]-λ〔f(ξ)－ξ〕=0
f'(ξ)－λ〔f(ξ)－ξ〕＝1