定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2-x）=（x-1）2，且当x≤1时，恒有f'（x）+2<x．若f(m)-f(1-m)≥32-3m，则实数m的取值范围是（）A.（-∞，1]B.(-13

Question

定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2-x）=（x-1）²，且当x≤1时，恒有f'（x）+2<x．若f(m)-f(1-m)≥

(3)/(2)-3m，则实数m的取值范围是（　　）

A. （-∞，1]

B. (-

(1)/(3)，1]

C. [1，+∞）

D. (-∞，

(1)/(2)]

Answer 1

令g（x）=f（x）+2x-(1)/(2)x2，
g′（x）=f′（x）+2-x，当x≤1时，恒有f'（x）+2<x．
∴当x≤1时，g（x）为减函数，
而g（2-x）=f（2-x）+2（2-x）-(1)/(2)(2-x)2，
∴f（x）+f（2-x）=g（x）-2x+(1)/(2)x2+g（2-x）-2（2-x）+(1)/(2)(2-x)2
=g（x）+g（2-x）+x²-2x-2=x²-2x+1．
∴g（x）+g（2-x）=3．
则g（x）关于（1，3）中心对称，则g（x）在R上为减函数，
由f(m)-f(1-m)≥(3)/(2)-3m，得f（m）+2m-(1)/(2)m2≥f（1-m）+2（1-m）-(1)/(2)(1-m)2，
即g（m）≥g（1-m），
∴m≤1-m，即m≤(1)/(2)．
∴实数m的取值范围是（-∞，(1)/(2)]．
故选：D．