f,g在R上定义在x=0处可导对于一切x1x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)g(x2)+f(x2)g(x1)并且f(0)=0,g(0)=1,证明f在R上可导并求f'.

Question

f,g在R上定义在x=0处可导对于一切x1x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)g(x2)+f(x2
)g(x1)并且f(0)=0,g(0)=1,证明f在R上可导并求f'.

Answer 1

用导数定义验证,f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim[f(x+h)-f(x)]/h（h趋于0）,根据条件有f(x+h)=f(x)g(h)+f(h)f(x),所以极限=lim[f(x)(g(h)-1)+f(h)g(x)]/h,由于g(0)=1,故limg(h)=0,因此极限=lim[f(h)/h]g(x),由于已知f(x)在x=0处可导,且f(0)=0说明limf(h)=0,故可用罗比达法则,极限=f'(0)g(x),这极限对任意x都存在,故f(x)在R上可导且f'(x)=f'(0)g(x).多说一点,像这种函数方程的问题,一般都是有实际的基本初等函数作为背景的,根据本题中两个函数满足的关系式以及特殊点处的函数值,可以发现如果令f(x)=sinx,g(x)=cosx,则完全符合条件,这样f'(x)=cosx=sin'(0)cosx,从而验证了我们所得结果的正确性.