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f(x)在区间某点处(n+1)阶可导,是不是表示f(x)在区间内n阶以及其余低阶可导
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f(x)在区间某点处(n+1)阶可导,是不是表示f(x)在区间内n阶以及其余低阶可导
▼优质解答
答案和解析
f(x)在a点(n+1)阶可导的前提是f(x)在a的一个邻域上n阶可导,这是高阶导数定义的需要.
当然,在这个邻域上同样是其余低阶可导的.
不过这个邻域可能很小,所以未必保证f(x)在事先给定的区间内是n阶可导的.
例如f(x) = |x|,在x ≠ 0处任意阶可导,但是在x = 0处不可导.
x越接近0,其可导邻域就越小.
另外还有一个有点关系的问题:
f(x)在某点可导不能推出f(x)在该点的某邻域内连续.
例如f(x) = x²·D(x),其中D(x)为Dirichlet函数 (在有理点取1,无理点取0).
其在x = 0处可导,但在任意x ≠ 0处都不连续.
当然,在这个邻域上同样是其余低阶可导的.
不过这个邻域可能很小,所以未必保证f(x)在事先给定的区间内是n阶可导的.
例如f(x) = |x|,在x ≠ 0处任意阶可导,但是在x = 0处不可导.
x越接近0,其可导邻域就越小.
另外还有一个有点关系的问题:
f(x)在某点可导不能推出f(x)在该点的某邻域内连续.
例如f(x) = x²·D(x),其中D(x)为Dirichlet函数 (在有理点取1,无理点取0).
其在x = 0处可导,但在任意x ≠ 0处都不连续.
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