（2014•黄石）AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC（x，y≠0）．（1）如图1，当△ABC为等边三角形且α=30°时证明：△AMN∽△DMA

Question

（2014•黄石）AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC （x，y≠0）．
（1）如图1，当△ABC为等边三角形且α=30°时证明：△AMN∽△DMA；
（2）如图2，证明：(1)/(x)+(1)/(y)=2；
（3）当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M′，交射线AC于点N′，设AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），猜想：(1)/(x′)+(1)/(y′)=(2)/(n)是否成立？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：
如图1，在△AMD中，
∵AD是△ABC的中线，△ABC为等边三角形，
∴AD⊥BC，∠MAD=30°，
又∵α=∠BDM=30°，
∴∠MDA=60°
∴∠AMD=90°，
在△AMN中，∠AMN=90°，∠MAN=60°，
∴∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA，
∴△AMN∽△DMA；

（2）证明：如图甲，过点C作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN

∴(NC)/(NA)＝(CF)/(AM)．
易证△CFD≌△BMD，
∴BM=CF，
∴(AN−AC)/(AN)＝(BM)/(AM)＝(AB−AM)/(AM)，
∴(yAC−AC)/(yAC)＝(AB−xAB)/(xAB)，即(1)/(x)+(1)/(y)＝2；

（3）猜想：(1)/(x′)+(1)/(y′)=(2)/(n) 成立．理由如下：
①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延长线于N，
则(AM′)/(AM)＝(AG)/(AD)＝(AN′)/(AN)
∴(x′)/(x)＝n＝(y′)/(y)，
即x＝(x′)/(n)，y＝(y′)/(n)
由（2）知(1)/(x)+(1)/(y)＝2
∴(1)/(x′)+(1)/(y′)＝(2)/(n)
②如图丙，当过点D作M₁N₁∥M'N'交AB的延长线于M₁，交AC1于N₁，则同理可得(1)/(x′)+(1)/(y′)＝(2)/(n)．