已知f（x）=log4（4x-1）．（1）求f（x）的定义域；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（3）求f（x）在区间[12，2]上的值域．

Question

已知f（x）=log₄（4^x-1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（3）求f（x）在区间[(1)/(2)，2]上的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）=log₄（4^x-1），
∴4^x-1>0，
∴x>0，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
（2）∵t=4^x-1在（0，+∞）上为增函数，y=log₄t在（0，+∞）上也为增函数，
根据复合函数的单调性，
∴f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（3）由（2）可知f（x）在区间[(1)/(2)，2]上单调递增，
∴f（(1)/(2)）≤f（x）≤f（2），
∵f（(1)/(2)）=0，f（2）=log₄15，
∴f（x）在区间[(1)/(2)，2]上的值域为[0，log₄15]．