已知函数f(x)＝logmx−3x+3（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[logm

Question

已知函数f(x)＝logm(x−3)/(x+3)
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；
（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由(x−3)/(x+3)＞0得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．
∵f(−x)＝logm(−x−3)/(−x+3)＝logm(x+3)/(x−3)＝logm((x−3)/(x+3))−1＝−f(x)
∴f（x）为奇函数                     …（3分）
（2）∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．
设x₁，x₂∈[α，β]，则x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）=logm(x1−3)/(x1+3)−logm(x2−3)/(x2+3)=logm((x1−3)(x2+3))/((x1+3)(x2−3))
∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）
即((x1−3)(x2+3))/((x1+3)(x2−3))＜1，
∴当0＜m＜1时，log_m((x1−3)(x2+3))/((x1+3)(x2−3))＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
当m＞1时，log_m((x1−3)(x2+3))/((x1+3)(x2−3))＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．                      …（7分）
（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，
∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，
则有

logm(α−3)/(α+3)＝logmm(α−1)

logm(β−3)/(β+3)＝logmm(β−1)

…（9分）
∴

(α−3)/(α+3)＝m(α−1)

(β−3)/(β+3)＝m(β−1)

∴α，β是方程(x−3)/(x+3)＝m(x−1)的两个解…（10分）
解得当0＜m＜(2−√(3))/(4)时，[α，β]=[(1−2m−√(16m2−16m+1))/(2m)，(1−2m+√(16m2−16m+1))/(2m)]，
当(2−√(3))/(4)≤m＜1时，方程组无解，即[α，β]不存在．                 …（12分）