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若定义在R上的函数y=f(x)满足:对于任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)恒成立,我们称f(x)为“类余弦型”函数.(1)已知f(x)为“类余弦型”函数,且f(1)=54,求f(0)
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若定义在R上的函数y=f(x)满足:对于任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)恒成立,我们称f(x)为“类余弦型”函数.
(1)已知f(x)为“类余弦型”函数,且f(1)=
,求f(0)和f(2)的值;
(2)在(1)的条件下,定义数列an=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3…),求log2
+log2
+…+log2
的值;
(3)若f(x)为“类余弦型”函数,且对于任意非零实数t,总有f(t)>1,证明:函数f(x)为偶函数;设有理数x1,x2满足|x1|<|x2|,判断f(x1)和f(x2)的大小关系,并证明你的结论.
(1)已知f(x)为“类余弦型”函数,且f(1)=
| 5 |
| 4 |
(2)在(1)的条件下,定义数列an=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3…),求log2
| a1 |
| 3 |
| a2 |
| 3 |
| a2017 |
| 3 |
(3)若f(x)为“类余弦型”函数,且对于任意非零实数t,总有f(t)>1,证明:函数f(x)为偶函数;设有理数x1,x2满足|x1|<|x2|,判断f(x1)和f(x2)的大小关系,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=2f(1)f(0),∴f(0)=1;
令x=y=1得f(2)+f(0)=2f2(1),∴f(2)=2f2(1)-f(0)=
.
(2)令x=n+1,y=1,得2f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n).
∴f(n+2)=
f(n+1)-f(n),
∴an+1=2f(n+2)-f(n+1)=2[
f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=4f(n+1)-2f(n)=2[2f(n+1)-f(n)]=2an(n≥1).
又a1=2f(2)-f(1)=3
∴{an}是以3为首项,以2为公比的等比数列,
所以an=3•2n-1=3•2n-1.
∴log2
=log22n-1=n-1,
∴{log2
}是以0为首项,以1为公差的等差数列,
∴log2
+log2
+…+log2
=0+1+2+…+2016=
×2017=2033136.
(3)令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),
∴f(-y)=f(y),即f(-x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
∵t≠0时,f(t)>1,
∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(y),即f(x+y)-f(y)>f(y)-f(x-y)
∴令y=kx(k为正整数),对任意的k为正整数,有f[(k+1)x]-f(kx)>f(kx)-f[(k-1)x],
则f[(k+1)x]-f(kx)>f(kx)-f[(k-1)x]>…>f(x)-f(0)>0
∴对于k为正整数,总有f[(k+1)x]>f(kx)成立.
∴对于m,n为正整数,若n<m,则有f(nx)<f[(n-1)x]<…<f(mx)成立.
∵x1,x2为有理数,所以可设|x1|=
,|x2|=
,其中q1,q2是非负整数,p1,p2都是正整数,
则|x1|=
,|x2|=
,令x=
,t=q1p2,s=p1q2,则t,s为正整数.
∵|x1|<|x2|,∴t<s,∴f(tx)<f(sx),即f(|x1|)<f(|x2|).
∵函数f(x)为偶函数,∴f(|x1|)=f(x1),f(|x2|)=f(x2),
∴f(x1)<f(x2).
令x=y=1得f(2)+f(0)=2f2(1),∴f(2)=2f2(1)-f(0)=
| 17 |
| 8 |
(2)令x=n+1,y=1,得2f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n).
∴f(n+2)=
| 5 |
| 2 |
∴an+1=2f(n+2)-f(n+1)=2[
| 5 |
| 2 |
又a1=2f(2)-f(1)=3
∴{an}是以3为首项,以2为公比的等比数列,
所以an=3•2n-1=3•2n-1.
∴log2
| an |
| 3 |
∴{log2
| an |
| 3 |
∴log2
| a1 |
| 3 |
| a2 |
| 3 |
| a2017 |
| 3 |
| 2016 |
| 2 |
(3)令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),
∴f(-y)=f(y),即f(-x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
∵t≠0时,f(t)>1,
∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(y),即f(x+y)-f(y)>f(y)-f(x-y)
∴令y=kx(k为正整数),对任意的k为正整数,有f[(k+1)x]-f(kx)>f(kx)-f[(k-1)x],
则f[(k+1)x]-f(kx)>f(kx)-f[(k-1)x]>…>f(x)-f(0)>0
∴对于k为正整数,总有f[(k+1)x]>f(kx)成立.
∴对于m,n为正整数,若n<m,则有f(nx)<f[(n-1)x]<…<f(mx)成立.
∵x1,x2为有理数,所以可设|x1|=
| q1 |
| p1 |
| q2 |
| p2 |
则|x1|=
| q1p2 |
| p1p2 |
| p1q2 |
| p1p2 |
| 1 |
| p1p2 |
∵|x1|<|x2|,∴t<s,∴f(tx)<f(sx),即f(|x1|)<f(|x2|).
∵函数f(x)为偶函数,∴f(|x1|)=f(x1),f(|x2|)=f(x2),
∴f(x1)<f(x2).
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