若定义在R上的函数y=f（x）满足：对于任意实数x，y，总有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）恒成立，我们称f（x）为“类余弦型”函数．（1）已知f（x）为“类余弦型”函数，且f(1)=54，求f（0）

Question

若定义在R上的函数y=f（x）满足：对于任意实数x，y，总有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）恒成立，我们称f（x）为“类余弦型”函数．
（1）已知f（x）为“类余弦型”函数，且f(1)=(5)/(4)，求f（0）和f（2）的值；
（2）在（1）的条件下，定义数列a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3…），求log2(a1)/(3)+log2(a2)/(3)+…+log2(a2017)/(3)的值；
（3）若f（x）为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有f（t）>1，证明：函数f（x）为偶函数；设有理数x₁，x₂满足|x₁|<|x₂|，判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）令x=1，y=0，得f（1）+f（1）=2f（1）f（0），∴f（0）=1；
令x=y=1得f（2）+f（0）=2f²（1），∴f（2）=2f²（1）-f（0）=(17)/(8)．
（2）令x=n+1，y=1，得2f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）．
∴f（n+2）=(5)/(2)f（n+1）-f（n），
∴a_n+1=2f（n+2）-f（n+1）=2[(5)/(2)f（n+1）-f（n）]-f（n+1）=4f（n+1）-2f（n）=2[2f（n+1）-f（n）]=2a_n（n≥1）．
又a₁=2f（2）-f（1）=3
∴{a_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
所以a_n=3•2^n-1=3•2^n-1．
∴log₂(an)/(3)=log₂2^n-1=n-1，
∴{log₂(an)/(3)}是以0为首项，以1为公差的等差数列，
∴log2(a1)/(3)+log2(a2)/(3)+…+log2(a2017)/(3)=0+1+2+…+2016=(2016)/(2)×2017=2033136．
（3）令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），
∴f（-y）=f（y），即f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
∵t≠0时，f（t）>1，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）>2f（y），即f（x+y）-f（y）>f（y）-f（x-y）
∴令y=kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[（k+1）x]-f（kx）>f（kx）-f[（k-1）x]，
则f[（k+1）x]-f（kx）>f（kx）-f[（k-1）x]>…>f（x）-f（0）>0
∴对于k为正整数，总有f[（k+1）x]>f（kx）成立．
∴对于m，n为正整数，若n<m，则有f（nx）<f[（n-1）x]<…<f（mx）成立．
∵x₁，x₂为有理数，所以可设|x₁|=(q1)/(p1)，|x₂|=(q2)/(p2)，其中q₁，q₂是非负整数，p₁，p₂都是正整数，
则|x₁|=(q1p2)/(p1p2)，|x₂|=(p1q2)/(p1p2)，令x=(1)/(p1p2)，t=q₁p₂，s=p₁q₂，则t，s为正整数．
∵|x₁|<|x₂|，∴t<s，∴f（tx）<f（sx），即f（|x₁|）<f（|x₂|）．
∵函数f（x）为偶函数，∴f（|x₁|）=f（x₁），f（|x₂|）=f（x₂），
∴f（x₁）<f（x₂）．