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1、f(x)=2^(x)+x³ 这个函数为什么是增函数2、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0(1)求f(0)的值;(2)当0≤x≤½时,f(x)+3<2x+a恒成立,求实数a的
题目详情
1、f(x)=2^(x)+x³ 这个函数为什么是增函数
2、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0
(1)求f(0)的值;
(2)当0≤x≤½时,f(x)+3<2x+a恒成立,求实数a的取值范围.【关键第二问,取值范围的解法!】
2、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0
(1)求f(0)的值;
(2)当0≤x≤½时,f(x)+3<2x+a恒成立,求实数a的取值范围.【关键第二问,取值范围的解法!】
▼优质解答
答案和解析
第一题:由定义法可知,当x1<x2时,f(x2)-f(x1)=2^(x2)+(x2)³ -2^(x1)-(x1)³ =2^(x1)(2^(x2-x1)-1)+((x2)³ -(x1)³).因2^(x2-x1)-1>0,(x2)³ -(x1)³>0,所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)是增函数.
第二题:(1)令y=1,则f(x+1)-f(1)=x(x+3).因f(1)=0,所以f(x+1)=x(x+3).令y=x+1,则x=y-1,所以f(y)=(y-1)(y+2).所以f(0)=-1*2=-2
(2)因f(x)=(x-1)(x+2)=x^2+x-2,所以x^2+x+1<2x+a,即a>x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4.令g(x)=(x-1/2)^2+3/4,因当0≤x≤½时,g(x)单调减,所以当x=0时,g(x)取得最大值1.因当0≤x≤½时,a>g(x)恒成立,所以a>1,即实数a的取值范围是(1,+∞).
第二题:(1)令y=1,则f(x+1)-f(1)=x(x+3).因f(1)=0,所以f(x+1)=x(x+3).令y=x+1,则x=y-1,所以f(y)=(y-1)(y+2).所以f(0)=-1*2=-2
(2)因f(x)=(x-1)(x+2)=x^2+x-2,所以x^2+x+1<2x+a,即a>x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4.令g(x)=(x-1/2)^2+3/4,因当0≤x≤½时,g(x)单调减,所以当x=0时,g(x)取得最大值1.因当0≤x≤½时,a>g(x)恒成立,所以a>1,即实数a的取值范围是(1,+∞).
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