对于四面体,分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;RT,如何证明啊?选自2009年安徽理数

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对于四面体,分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;
RT,如何证明啊?选自2009年安徽理数

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答案和解析

我只能口述你自己画一下图吧
设四面体四个顶点是ABCD 六个中点EFGHIJ分别在棱AD DC BC AB BD AC上
要证明EG IJ HF交于一点先看EG和HF 设其交点为M 连接EH HG GF FE 显然是一个平行四边形,连接DJ BJ 和EF HG分别交于点S T
在三角形JBD中,显然S是DJ中点 T是BJ中点,而I是BD中点 ST是三角形JBD的一条中位线它必然要过IJ的中点,而且ST和IJ互相平分而EFGH是平行四边形 S是EF中点显然 T是HG中点显然所以M是ST重点,也就是M也是IJ中点所以IJ EG HF三线中点重合也就是三线交于一点

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