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如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=时，CF⊥平面B1DF．
题目详情
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF= ___ 时，CF⊥平面B1DF．
▼优质解答
答案和解析
由已知得B1D⊥平面AC1，
又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，
故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．
设AF=x（0＜x＜3a），则CF2=x2+4a2，
DF2=a2+（3a-x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，
∴10a2=x2+4a2+a2+（3a-x）2，
解得x=a或2a．
故答案为：a或2a．
由已知得B1D⊥平面AC1，又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，
故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．
设AF=x（0＜x＜3a），则CF2=x2+4a2，
DF2=a2+（3a-x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，
∴10a2=x2+4a2+a2+（3a-x）2，
解得x=a或2a．
故答案为：a或2a．
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