一个椭圆其中心在原点,焦点在一坐标轴上,焦距为2根号13一双曲线和这个椭圆有公共的焦点且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴小4双曲线离心率与椭圆离心率之比是7比3求椭圆和双曲线的方

Question

一个椭圆其中心在原点,焦点在一坐标轴上,焦距为2根号13一双曲线和这个椭圆有公共的焦点且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴小4双曲线离心率与椭圆离心率之比是7比3求椭圆和双曲线的方程

Answer 1

易知c=√13
假设焦点在x轴上,椭圆方程为x^2/A^2+y^2/B^2=1（A>B>0）,双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0）
依题有
A-a=4（I）
(c/a)/(c/A)=A/a=7/3（II）
由（I）（II）得A=7,a=3
又由椭圆参数关系知B^2=A^2-c^2=36
由双曲线参数关系知b^2=c^2-a^2=4
所以椭圆方程为x^2/49+y^2/36=1,双曲线方程为x^2/9-y^2/4=1
根据对称性质可知焦点在y轴上的椭圆方程为y^2/49+x^2/36=1,双曲线方程为y^2/9-x^2/4=1