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求函数：f（x）=x^2*sin(1/x),x不等于00,x等于0在x=0处的导数
题目详情
求函数：f（x）=x^2*sin(1/x) ,x不等于0
0 ,x等于0
在x=0处的导数
0 ,x等于0
在x=0处的导数
▼优质解答
答案和解析
首先,当x->0时f(x)->f(0),说明函数在0点连续,这是导数存在的必要条件.
接下来用导数的定义求0点的左、右导数：
f'(0+)=lim(x->0+) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim[x^2*sin(1/x)]/x
=lim[x*sin(1/x)]
是无穷小×有界的形式
所以f'(0+)=0
f'(0-)=lim(x->0-) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim[x^2*sin(1/x)]/x
=lim[x*sin(1/x)]
还是无穷小×有界的形式
所以f'(0-)=0
综上：由于f'(0+)=f'(0-)=0
所以f'(0)=0
接下来用导数的定义求0点的左、右导数：
f'(0+)=lim(x->0+) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim[x^2*sin(1/x)]/x
=lim[x*sin(1/x)]
是无穷小×有界的形式
所以f'(0+)=0
f'(0-)=lim(x->0-) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim[x^2*sin(1/x)]/x
=lim[x*sin(1/x)]
还是无穷小×有界的形式
所以f'(0-)=0
综上：由于f'(0+)=f'(0-)=0
所以f'(0)=0
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