已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（0，4），（2，-2）两点，若抛物线在x轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式．

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过（0，4），（2，-2）两点，若抛物线在x轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式．

Answer 1

∵抛物线过（0，4），（2，-2）两点，
∴代入解析式整理得，b=-2a-3，c=4，
∴y=ax²+bx+c=ax²-（2a+3）x+4，
∴此抛物线在x轴上截得的线段长可表示为(√((2a+3)2−16a))/(|a|)＝√(4−(4)/(a)+(9)/(a2))(a＞0)，
∴当(1)/(a)＝−(−4)/(2×9)＝(2)/(9)，即a＝(9)/(2)时，抛物线在x轴上截得的线段最短，将a＝(9)/(2)代入b=-2a-3，得b=-12，
∴抛物线的解析式是：y＝(9)/(2)x2−12x+4．