如图，已知抛物线C：y2=2px（p>0），焦点为F，过点G（p，0）作直线l交抛物线C于A，M两点，设A（x1，y1），M（x2，y2）．（Ⅰ）若y1•y2=-8，求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线AF与x轴不垂直，直

Question

如图，已知抛物线C：y²=2px（p>0），焦点为F，过点G（p，0）作直线l交抛物线C于A，M两点，设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．

（Ⅰ）若y₁•y₂=-8，求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N．求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．

Answer 1

（Ⅰ） 设直线AM的方程为x=my+p，代入y²=2px得y²-2mpy-2p²=0，
∴y₁•y₂=-2p²=-8，
∴p=2，
∴抛物线C：y²=4x；
（Ⅱ）证明设B（x₃，y₃），N（x₄，y₄），则y₃•y₄=-2p²，y₁•y₃=-p²，
∴直线AB与直线MN斜率之比为((2p)/(y1+y3))/((2p)/(y2+y4))=(y2+y4)/(y1+y3)=((-2p2)/(y1y3)(y1+y3))/(y1+y3)=2．