设函数以2π为周期,它在[-π,π]上的表达式为f(x)=π^2-x^2.1.求fx的傅里叶展开式.2.求级数∑(-1)^(n-1)*(1/n^2)的和2.求级数∑(1/(2n)^2)的和

Question

设函数以2π为周期,它在[-π,π]上的表达式为f(x)=π^2-x^2.1.求fx的傅里叶展开式.
2.求级数∑(-1)^(n-1)*(1/n^2)的和
2.求级数∑(1/(2n)^2)的和

Answer 1

一 f(x)=pi^2-x^2
a0=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)dx; 括号内是积分范围
an=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)cosnxdx;
bn=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)sinnxdx;
傅里叶展开式为 2\a0+ ∑(an*cos(nx)+bn*sin(nx))
具体运算我不写了,傅里叶展开式就是套公式而已,运算出的答案一般长而不怪,太怪的话你就看看你的积分有无错误.
二
∑(-1)^(n-1)*(1/n^2)=∑(-1)^(n-1)*(1\n) * ∑(1\n)
麦克劳林公式∑(-1)^(n-1)*(1\n)=ln(1+1)=ln2
∑(1\n)也为ln2,它是调和级数,这里比较麻烦,不写出来了,
答案就是两个相乘
ps：这里我默认∑xy=∑x*∑y 我不知道是否正确,原式里只带入了n=1,2,3的值验算,结果倒是对的,但不知道是否有这公式
其实这种题就是用麦克劳林公式去将交错级数简化,熟悉就好
三
第三个有点怪,目测也是调和级数,你们连这也要考吗,当年我是感兴趣才看的这部分,老师几句话就带过了,书上也只有一个1\n的求和,证明收敛都很麻烦,还要求具体数据,这部分我帮不了你,具体参见调和函数百科,应该有求和的公式
好几年没看高数,不敢保证正确,