若a+b+c=1,求√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+za+b+c=1所以x^2+y^2+z^2=6x^2+y^2=6-z^2设m=x+y+z则x+y=m-z因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2所以6-z^2>=(m-z)^2/2所以3z^2-2mz+m^2-12=0m

Question

若a+b+c=1,求√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)的最大值
设x=√(3a+1),y=√(3b+1),z=√(3c+1),t=x+y+z
a+b+c=1
所以x^2+y^2+z^2=6
x^2+y^2=6-z^2
设m=x+y+z
则x+y=m-z
因为x^2+y^2>=(x+y)^2/2
所以6-z^2>=(m-z)^2/2
所以3z^2-2mz+m^2-12=0
m

Answer 1

由题设a+b+c=1及柯西不等式可得：18=3×6=(1²+1²+1²)[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]≥[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)]².===>√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)≤3√2.∴[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)]max=3√2.