函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）>1，则不等式exf（x）>ex+1，的解集是（）A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|-1<x<1}

Question

函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）>1，则不等式e^xf（x）>e^x+1，的解集是（　　）

A. {x|x>0}

B. {x|x<0}

C. {x|x<-1或x>1}

D. {x|-1<x<1 }

Answer 1

令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）>1，
∴f（x）+f′（x）-1>0，
∴g′（x）>0，即g（x）在R上单调递增，
又f（0）=2，∴g（0）=e⁰f（0）-e⁰-1=2-1-1=0，
故当x>0时，g（x）>g（0），即e^xf（x）-e^x-1>0，整理得e^xf（x）>e^x+1，
∴e^xf（x）>e^x+1的解集为{x|x>0}．
故选A．