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设a,b∈R,则“a>1且b>1”的充要条件是()A.a+b>2B.a+b>2且ab>1C.a+b>2且ab-a-b+1>0D.a+b>2且b>1
题目详情
设a,b∈R,则“a>1且b>1”的充要条件是( )
A.a+b>2
B.a+b>2且ab>1
C.a+b>2且ab-a-b+1>0
D.a+b>2且b>1
A.a+b>2
B.a+b>2且ab>1
C.a+b>2且ab-a-b+1>0
D.a+b>2且b>1
▼优质解答
答案和解析
a>1,b>1⇒a-1>0,b-1>0,
∴a-1+b-1>0,即a+b>2,
(a-1)(b-1)>0,
即ab-a-b+1>0,
∴“a>1且b>1”⇒“a+b>2且ab-(a+b)+1>0”;
现在有a+b>2,且ab-a-b+1>0,
得(a-1)(b-1)>0,且(a-1)+(b-1)>0,
于是必有a-1>0,b-1>0,
即a>1,b>1,
∴“a+b>2且ab-(a+b)+1>0”⇒“a>1且b>1”,
所以“a>1且b>1”成立的充要条件是“a+b>2且ab-(a+b)+1>0”.
故选C.
∴a-1+b-1>0,即a+b>2,
(a-1)(b-1)>0,
即ab-a-b+1>0,
∴“a>1且b>1”⇒“a+b>2且ab-(a+b)+1>0”;
现在有a+b>2,且ab-a-b+1>0,
得(a-1)(b-1)>0,且(a-1)+(b-1)>0,
于是必有a-1>0,b-1>0,
即a>1,b>1,
∴“a+b>2且ab-(a+b)+1>0”⇒“a>1且b>1”,
所以“a>1且b>1”成立的充要条件是“a+b>2且ab-(a+b)+1>0”.
故选C.
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