若函数y=f（x）对定义域D的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f（x1）f（x2）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”，下列命题正确的是．（把你认为正确自倒函数命题的序号都填上）（1）f（

Question

若函数y=f（x）对定义域D的每一个x₁，都存在唯一的x₂∈D，使f（x₁）f（x₂）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”，下列命题正确的是______．（把你认为正确自倒函数命题的序号都填上）
（1）f（x）=sinx+√(2)（x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]）是自倒函数；  
（2）自倒函数f（x）的值域可以是R；
（3）自倒函数f（x）的可以是奇函数；
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）•g（x）是自倒函数．

Answer 1

（1）中，∵f（x）=sinx+√(2)（x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]），任取x₁∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]，有sinx₁∈[-1，1]，∴f（x₁）=sinx₁+√(2)，且f（x₁）∈[√(2)-1，√(2)+1]；
由f（x₁）•f（x₂）=1，得f（x₂）=(1)/(f(x1))=(1)/(sinx1+√(2))，即sinx₂+√(2)=(1)/(sinx1+√(2))，∴sinx₂=(1)/(sinx1+√(2))-√(2)，且sinx₂∈[-1，1]，∴x₂=arcsin（(1)/(sinx1+√(2))-√(2)）
其中x₂∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]，
∴f（x）=sinx+√(2)（x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]）是自倒函数，即（1）正确；
在（2）中，f（x）的值域是R，∴当f（x₁）=0时，f（x₁）f（x₂）=0，命题不成立，即f（x）不是自倒函数；
在（3）中，f（x）是奇函数时，不妨设f（x）=(1)/(x)，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
则任取x₁∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（x₁）=(1)/(x1)∈（-∞，0）∪（0，+∞），由f（x₁）f（x₂）=(1)/(x1)•(1)/(x2)=1，得x₂=(1)/(x1)，其中x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f（x）是定义域上的自倒函数；
（4）中，当y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同时，函数y=f（x）g（x）不一定是自倒函数，例如f（x）=g（x）=(1)/(x)，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
f（x）g（x）=(1)/(x2)不是自倒函数，因为由(1)/(x12)•(1)/(x22)=1得x₂=±(1)/(x1)，不唯一，故原命题不成立；
故答案为：①③．